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  运用一元四、五次方程的最简重根判别式解题之特点           
运用一元四、五次方程的最简重根判别式解题之特点
作者:佚名 文章来源:不详 更新时间:2008-11-21 12:45:20

运用一元四、五次方程的最简重根判别式解题之特点
范盛金

运用一元四次方程的最简重根判别式解题之特点:
一元四次方程aX^4+bX^3+cX^2+dX+e=0(a,b,c,d,e∈R,且a≠0)
重根判别式:
A=3b^2—8ac;
B=bc—6ad;
C=cd—6be;
D=3d^2—8ce。
当A=B=C=0时,公式⑴:
X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=-b/(4a)=-2c/(3b)=-3d/(2c)=-4e/d。
就是说,当A=B=C=0时,方程有一个四重实根。
这与盛金公式解题法类似。因此,把A、B、C、D称作重根判别式。
说明:关于三重根、二重根问题不在此讨论,因为三重根、二重根问题要由总判别式来判定。
特点1:由公式⑴可快速地推导出重根判别式。
推导如下:
由:X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=-b/(4a)=-2c/(3b)=-3d/(2c)=-4e/d。
得:
-b/(4a)=-2c/(3b)=>A=3b^2—8ac;
-b/(4a)=-3d/(2c)=>B=bc—6ad;
-2c/(3b)=-4e/d=>C=cd—6be;
-3d/(2c)=-4e/d=>D=3d^2—8ce。
就这样方便地推导出了重根判别式。
特点2:当A=B=C=0时,方程可化为(X+R)^4=0的形式。就是说可以化为如下形式:
(X+b/(4a))^4=0;(X+2c/(3b))^4=0;(X+3d/(2c))^4=0;(X+4e/d)^4=0。
例:判别方程16X^4+32×3^(1/2)X^3+72X^2+24×3^(1/2)X+9=0可否化为(X+R)^4=0的形式?
解:a=16,b=32×3^(1/2),c=72,d=24×3^(1/2),e=9。
∵A=B=C=0,∴方程可化为(X+R)^4=0的形式。
即(X+b/(4a))^4=(X+3^(1/2)/2)^4=0,就是(2X+3^(1/2))^4=0。
事实上,16X^4+32×3^(1/2)X^3+72X^2+24×3^(1/2)X+9=(2X+3^(1/2))^4。
特点3:展开(X+R)^4=0,即X^4+4RX^3+6R^2X^2+4R^3X+R^4=0,无论R为任意实数,一定有A=B=C=0。
例:取R=3,得方程X^4+12X^3+54X^2+108X+81=0, 则此方程一定有A=B=C=0。
∵A=B=C=0,∴此程是一个四重实根。
特点4:如果A、B、C不同时为零,那么就可以判定此方程不是一个四重实根。
例:判别方程X^4+68X^3+18X+8=0的解。
解:∵A、B、C不同时为零,∴此方程的解不是一个四重实根。

运用一元五次方程的最简重根判别式解题之特点:
一元五次方程aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0
(a,b,c,d,e,f∈R,且a≠0)
重根判别式:
A=2b^2—5ac;
B=bc—5ad;
C=de—5cf;
D=2e^2—5df。
当A=B=C=0时,公式⑴:
X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=-b/(5a)=-c/(2b)=-d/c=-2e/d =-5f/e。
就是说,当A=B=C=0时,方程有一个五重实根。
这与盛金公式解题法类似。因此,把A、B、C、D称作重根判别式。
说明:关于四重根、三重根、二重根问题不在此讨论,因为四重根、三重根、二重根问题要由总判别式来判定。
一元五次方程的重根判式具有一元四方程的重根判式的类似性质。
有类似之处不在此赘述。
以下谈点不同之处的特点:
1、解一元五次方程问题是世界数学史上最著名的难题之一。
在1825年,挪威学者Abel证明了:一般的一个代数方程,如果方程的次数n≥5 ,那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是著名的Abel定理。“所以,我们必须放弃用根式来解一般五次方程的思想。”(见孙本旺编著《伽罗华理论》,湖南科技出版社,1984年4月)。
世界上绝大多数的数学家都不愿意研究五次方程问题,这是因为研究五次方程问题很复杂且很难出成果。
2、在此,我们可以清晰地看到一元五次方程的重根判式比一元四方程的重根判式更具数学美。其实,研究五次方程问题是一个很趣味的问题,并非是一个很可怕的问题。
3、研究五次方程问题是可以出成果的。当然,要出成果是很困难的,正因为这样,才更有意义。
4、当A=B=0,C≠0时,方程有一个实根和一对共轭虚根。此时有根号表达的求根公式。这让我们看到了一元五次方程存在一般式求根公式的希望。问题是如何去找到她。
5、有理由猜想:如果存在一般五次方程求根公式,那么重根判别式是构成总判别式及一般五次方程求根公式的基础。这与盛金公式的表达式类似。

参考资料,见网址:
http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=8658
http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=12987
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