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  可化为(X+b/(5a))^ 5=R的一元五次方程之求根公式           
可化为(X+b/(5a))^ 5=R的一元五次方程之求根公式
作者:佚名 文章来源:不详 更新时间:2008-11-21 12:45:14

可化为(X+b/(5a))^ 5=R的一元五次方程之求根公式

范盛金

关于研究五次方程求根公式的问题,如果我们不受Abel定理的约束,那么在探索中我们会有新的发现。

从盛金公式解题法中可以受到启发,若一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0可以用根式表达的公式求解,则一定可以化为(X+b/(3a))^3=R的方程,事实上,展开(X+b/(3a))^3=R后的此方程,无论a 、b、R为任意实数,都可以用盛金公式②直观求解。

因此,笔者猜想:“如果一元五次方程aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0可以用根式表达的公式求解,那么就一定可以化为(X+b/(5a))^5=R的方程,展开(X+b/(5a))^5=R的此方程,无论a 、b、R为任意实数,存在根式表达的公式求解。”

经过努力探索,笔者解决了这个猜想,推导出“可化为(X+b/(5a))^5=R的一元五次方程之求根公式”如下:

一元五次方程:aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0
(a,b,c,d,e,f∈R,且a≠0)

重根判别式:
A=2b^2—5ac;
B=bc—5ad;
C=de—5cf;
D=2e^2—5df。

当A=B=C=0时,公式⑴:
X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)
=-b/(5a)=-c/(2b)=-d/c=-2e/d=-5f/e。

当A=B=0,C≠0时,公式⑵:
X(1)=(-b+Y^(1/5))/(5a);

X(2,3)=(-b+Y^(1/5)(-1-5^(1/2))/4)/(5a)
±Y^(1/5)(5-5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a);

X(4,5)=(-b+Y^(1/5)(-1+5^(1/2))/4)/(5a)
±Y^(1/5)(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a)。

其中Y=(5a)^3(be—25af),i^2=-1。

判别法:
当A=B=C=0时,方程有一个五重实根;
当A=B=0时,C≠0时,方程有一个实根和两对共轭虚根。
(注:这个判别法是针对上述公式而言,并非判别根的一般情况)

特点:
1、当A=B=C=0时的方程,都可以化为(X+b/(5a))^5=0的方程,展开(X+b/(5a))^5=0,无论a、b、为任意实数,都可以用公式⑴快速求解。
2、当A=B=0,C≠0时的方程,都可以化为(X+b/(5a))^5=R的方程,展开(X+b/(5a))^5=R,无论a、b、R为任意实数,都可以用公式⑵直观求解。

解题举例:
例1、解方程1024X^5+3840X^4+5760X^3+4320X^2+1620X+243=0
解:a=1024,b=3840,c=5760,d=4320,e=1620,f=243。
∵A=B=C=0,∴此方程有一个五重实根。
应用公式⑴解得:X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=-3/4。

这是精确结果,把X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=-3/4代入原方程为零。
经检验,解得的结果正确。

例2、解方程X^5+15X^4+90X^3+270X^2+405X—1419614=0
(值得注意:根据Abel定理,这个五次方程无根式表达的公式求解。)
解:a=1,b=15,c=90,d=270,e=405,f=-1419614。
∵A=0;B=0;C≠0,∴此方程有一个实根和两对共轭虚根。
应用公式⑵求解。
Y=(5a)^3(be—25af)=4437053125;
Y^(1/5)=85。
把有关值代入公式⑵,得:
X(1)=14;
X(2,3)=(-29-17×5^(1/2))/4±17(5-5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4;
X(4,5)=(-29+17×5^(1/2))/4±17(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4。

这是精确结果。为了方便用韦达定理检验,取近似结果为宜,就是:
X(1)=14;
X(2,3)=-16.7532889±9.992349289i;
X(4,5)=2.253288904±16.16796078i。
经检验,解得的结果正确(检验过程略)。

例3、解方程X^5+30×23^(1/2)X^4+8280X^3+49680×23^(1/2)X^2+3427920X+2008×889^(1/2)=0
(值得注意:这是一个比较复杂的五次方程,根据Abel定理,这个方程无根式表达的公式求解。)
解:a=1,b=30×23^(1/2),c=8280,d=49680×23^(1/2),e=3427920,f=2008×889^(1/2)。
∵A=B=0,C≠0,∴此方程有一个实根和两对共轭虚根。
应用公式⑵求解。
Y=(5a)^3(be—25af)= 6.146187944×10^10;
Y^(1/5)=143.7875114。
把有关值代入公式⑵,得:
X(1)=-0.01748685988;
X(2,3)=-52.0402972±16.90323573i;
X(4,5)=-19.88843222±27.35000994i。

经用韦达定理检验,解得的结果正确(检验过程略)。

更进一步地,笔者猜想:当n>5时,如果一般n次方程可以用根式表达的公式求解,那么就一定可以化为(X+b/(na))^n=R的方程,展开(X+b/(na))^n=R后的此方程,无论a 、b、R为任意实数,存在公式求解。

说明:
1、此文中的重根判式A、B、C、D与“科学网>个人学术展示>一般五次方程求根公式之探讨(一)范盛金”一文中的重根判式A、B、C、D有区别,这是因为此文经过压缩,精选出重根判式。解题过程中要注意区分。
2、凡是展开(X+b/(5a))^5=R得出的一元五次方程,无论a 、b、R为任意实数,都可以用公式⑵直观求解。根据这一特点,有理由猜想:一元五次方程存在根式表达的一般式求根公式。这个猜想与Abel定理相违背。
3、一元五次方程方程的最简重根判别式以及公式⑴、⑵与盛金公式的表达形式类似。很明显,公式⑴、⑵是一般五次方程求公式的其中情形的公式。
4、能否完整地推导出根式表达的一般五次方程求根公式?这是世界数学史上最著名的难题之一,是一个相当复杂的问题,但值得探索。

参考资料,见网址:
http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=8658
http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=12987

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