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  运用盛金公式解题举例           
运用盛金公式解题举例
作者:佚名 文章来源:不详 更新时间:2008-11-21 12:45:07

运用盛金公式解题举例

以下运用盛金公式解一些有一定难度的三次方程。

运用盛金公式解题的步骤:
1、写出系数a、b、c、d的值(以免当b=0时,误把c的值当b的值输入计算器);
2、按顺序求出A、B、C、Δ的值;
3、根据盛金判别法套用相应的盛金公式即可得出正确结果。

例1、解方程4√3X^3+24X^2+15√3X+9=0,
解:a=4√3,b=24,c=15√3,d=9。
A=36;B=36√3;C=27,Δ=B^2-4AC=0。
此方程有三个实根,其中有一个两重根。
∵Δ=0,∴应用盛金公式③求解。
K=√3。
把有关值代入盛金公式③,得:
X(1)=-√3;X(2)= X(3)=-√3/2。

例2、解方程4√5X^3+300X^2+1265√5X+8325=0,
解:a=4√5,b=300,c=1265√5,d=8325。
A=14100;B=79800√5;C=508625,
Δ=B^2-4AC=3153750000>0。
此方程有一个实根和一对共轭虚根。
∵Δ>0,∴应用盛金公式②求解。
Y(1)≈2589442.101;Y(2)≈1082557.899。
把有关值代入盛金公式②得:
X(1)≈-20.1246118;X(2,3)≈-6.708203932±1.118033988i。
∵9√5≈20.1246118;3√5≈6.708203932;√5/2≈1.118033989,
∴X(1)=-9√5;X(2,3)=-3√5±i√5/2。

例3、解方程√29X^3+√3X^2+√7X+√2=0,
解:a=√29,b=√3,c=√7,d=√2。
A≈-39.74342055<0,
∵A<0,∴必有Δ>0。(根据盛金定理)
此方程有一个实根和一对共轭虚根。
B≈-63.95938226;C≈-0.3484692283,
Δ=B^2-4AC≈4035.405143>0。
∵Δ>0,∴应用盛金公式②求解。
Y(1)≈960.9476873;Y(2)≈-65.32749136。
把有关值代入盛金公式②得:
X(1)≈-0.468736946;X(2,3)≈0.07355159279±0.7448802224i。

例4、解方程√6X^3+√23X^2-√11X-√5=0
解:a=√6,b=√23,c=-√11,d=-√5。
A≈47.37211521;B≈33.38905645;C≈43.17141588,
Δ=B^2-4AC≈-7065.656057<0。
此方程有三个不相等的实根。
∵Δ<0,∴应用盛金公式④求解。
θ≈71.3048976度。
把有关值代入盛金公式④,得:
X(1)≈-2.366991309;X(2)≈0.8583917361;X(3)≈-0.4492904482。

例1与例2可用因式分解法求解,但不如用盛金公式求解方便。
例3与例4各项系数的无理数不相同,无规律可循,是比较复杂的方程,在实际解题的手工操作中,是无法用猜根法、因式分解法来求解的,而用盛金公式可直观求解。

例5、解方程√7X^3+√861X^2+√231X-86=0
解:a=√7,b=√861,c=√231,d=-86。
A≈740.3641844;B≈2493.783487;C≈7801.442788,
Δ=B^2-4AC≈-16884679.23<0。
此方程有三个不相等的实根。
∵Δ<0,∴应用盛金公式④求解。
θ≈54.0474237度。
把有关值代入盛金公式④,得:
X(1)≈-10.21687854;X(2)≈1.399557206;X(3)≈-2.273215172。

例6、解方程2500X^3+9325X^2+8489X+2274.47=0
(精确到0.01)
解:a=2500,b=9325,c=8489,d=2274.47。
A=23288125;B=27984350;C=8434822.75,
Δ=B^2-4AC≈-2.600981297×10^2<0。
此方程有三个不相等的实根。
∵Δ<0,∴应用盛金公式④求解。
θ≈3.084825276度。
把有关值代入盛金公式④,得:
X(1)=-2.53;X(2)=-0.58;X(3)=-0.62。

例7、解方程X^3+5.595754113X^2+10.15623205X+6=0
解:a=1,b=5.595754113,c=10.15623205,d=6。
A=0.8437679432;B=2.831777266;C=2.425475419,
Δ=B^2-4AC≈-0.1671911381<0。
此方程有三个不相等的实根。
∵Δ<0,∴应用盛金公式④求解。
θ≈52.31095336度,
cos(θ/3)≈0.9540470988;sin(θ/3)≈0.2996566925。
把有关值代入盛金公式④,得:
X(1)≈-2. 449489729;X(2)≈-1. 414213543;X(3)≈-1. 732050841。
就是:X(1)=-√6;X(2)=-√2; X(3)=-√3。

这个方程的系数有小数也有整数,是一道比较复杂且有趣味的方程。类似这样的方程,用猜根法、因式分解法是无法求解的。而用盛金公式可直观求解。

例8、4x^3-(3x^2)√2+38x-18√2=0
整理为4X^3-3√2X^2+38X-18√2=0
解方程4X^3-3√2X^2+38X-18√2=0
解:a=4,b=-3√2,c=38,d=-18√2。
A=-438;B=755.1900423;C=1120,
Δ=B^2-4AC=2532552>0。
此方程有一实根和一对共轭虚根。
∵Δ>0,∴应用盛金公式②求解。
Y(1)=6875. 532676;Y(2)=-12221.25994。
把有关值代入盛金公式②,得:
X(1)=0.6884605723;X(2,3)=0.1860997998±3.034653542i。

例9、解方程12X^3-31.28X^2+7.936X+18.2272=0,
解:a=12,b=-31.28,c=7.936,d=18.2272。
A=692.7424;B=-2216.77568;C=1773.420544,
Δ=B^2-4AC=0。此方程有三个实根,其中有一个两重根。
∵Δ=0,∴应用盛金公式③求解。
K=-16/5。
把有关值代入盛金公式③,得:
X(1)=-89/150;X(2)=X(3)=8/5。

以上例题的结果经用韦达定理检验正确(检验过程略)。

说明:
1、盛金公式与盛金判别法体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美,很方便记忆;
2、运用盛金公式解题的步骤直观、明朗,解题过程是否出现错误很方便检查;
3、只要能熟练操作科学计算器,就可以很方便地运用盛金公式解复杂类型题。

参考资料:
三次方程新解法——盛金公式解题法
科学网→个人学术展
http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=8658

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