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  运用五次方程公式⑴、公式⑵解题之特点           
运用五次方程公式⑴、公式⑵解题之特点
作者:佚名 文章来源:不详 更新时间:2008-11-21 12:45:06

运用五次方程公式⑴、公式⑵解题之特点
范盛金

一元五次方程:aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0
(a,b,c,d,e,f∈R,且a≠0)
重根判别式:
A=2b^2—5ac;
B=bc—5ad;
C=de—5cf;
D=2e^2—5df。

当A=B=C=0时,公式⑴:
X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)
=-b/(5a)=-c/(2b)=-d/c=-2e/d=-5f/e。

当A=B=0,C≠0时,公式⑵:
X(1)=(-b+Y^(1/5))/(5a);
X(2,3)=(-b+Y^(1/5)(-1-5^(1/2))/4)/(5a)
±Y^(1/5)(5-5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a);
X(4,5)=(-b+Y^(1/5)(-1+5^(1/2))/4)/(5a)
±Y^(1/5)(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a)。
其中Y=(5a)^3(be—25af),i^2=-1。

判别法:
当A=B=C=0时,方程有一个五重实根;
当A=B=0,C≠0时,方程有一个实根和两对共轭虚根。
(注:这个判别法是针对上述公式而言,并非判别根的一般情况)

公式⑴、公式⑵的表达式与盛金公式①、盛金公式②的表达式类似,不仅仅是表达式类似,其性质与解题方式也类似,这是很美妙的,很有趣味的。

运用公式⑴解题之特点:

特点1:由公式⑴可快速地推导出重根判别式。
推导如下:
由:
X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)
=-b/(5a)=-c/(2b)=-d/c=-2e/d =-5f/e。
得:
-b/(5a)=-c/(2b)=>A=2b^2—5ac;
-b/(5a)=-d/c=>B=bc—5ad;
-d/c=-5f/e=>C=de—5cf;
-2e/d=-5f/e=>D=2e^2—5df。
就这样方便地推导出了重根判别式。

特点2:当A=B=C=0时,可解出方程为一个五重实根。
例:解方程16807X^5+36015X^4+30870X^3+13230X^2+2835X+243=0。
解:a=16807,b=36015,c=30870,d=13230,e=2835,f=243。
∵A=B=C=0,∴由公式⑴得:
X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=—3/7。

特点3:当A=B=C=0时,可判定方程有一个五重实根。
例:判别方程243X^5+162X^4+1080X^3+720X^2+48X+32=0的解。
解:a=243,b=162,c=1080,d=720,e=48,f=32。
∵A=B=C=0,∴方程有一个五重实根。

特点4:当A=B=C=0时,方程可化为(X+R)^5=0的形式。
就是说可以化为如下形式:
(X+b/(5a))^5=0;(X+c/(2b))^5=0;(X+d/c)^5=0;(X+2e/d)^5=0;(X+5f/e)^5=0。
例:判别方程32X^5+240X^4+720X^3+1080X^2+810X+243=0可否化为(X+R)^5=0的形式?
解:a=32,b=240,c=720,d=1080,e=810,f=243。
∵A=B=C=0,∴方程可化为(X+R)^5=0的形式。
即(X+b/(5a))^5=(X+240/(5×32))^5=0,就是(2X+3)^5=0。
事实上,32X^5+240X^4+720X^3+1080X^2+810X+243=(2X+3)^5。

特点5:展开(X+b/(5a))^5=0,无论a 、b 、R为任意实数,一定有A=B=C=0。
为方便起见,令r=b/(5a),代入(X+b/(5a))^5=0,得(X+r)^5=0,展开为:
X^5+5rX^4+10r^2X^3+10r^3X^2+5r^4X+r^5=0。
就是说,无论r为任意实数,此方程一定有A=B=C=0。
例:取r=6,得方程X^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+7776=0,则此方程一定有A=B=C=0。
∵A=B=C=0,∴此方程是一个五重实根。

特点6:如果A、B、C不同时为零,就可以判定此方程不是一个五重实根。
例:判别方程X^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+2=0是否为一个五重实根?
解:∵A=B=0,C≠0,即A、B、C不同时为零,∴此方程的解不是一个五重实根。
事实上,此方程的解是一个实根和两对共轭虚根。

运用公式⑵解题之特点:

特点1:当A=B=0时,C≠0时,可判定方程有一个实根和两对共轭虚根。
例:判别方程16X^5+120X^4+360X^3+540X^2+405X+7=0的解。
解:∵A=B=0,C≠0,∴此方程有一个实根和两对共轭虚根。

特点2:当A=B=0,C≠0时的方程,可解出此方程为一个实根和两对共轭虚根。
例:解方程X^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+7744=0。
解:a=1,b=30,c=360,d=2160,e=6480,f=7744。
∵A=B=0,C≠0,∴应用公式⑵求解。
Y=10^5。
把有关值代入公式⑵,得:
X(1)=—4;
X(2,3)=—(13+5^(1/2))/2±(5-5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/2;
X(4,5)=—(13-5^(1/2))/2±(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/2。
这是精确结果。

这是一个比较简单的五次方程。若在这个方程中的f取无理数,就可增加此方程的难度。即方程X^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+f=0中的f为任意实数,在科学计算器的辅助下都可以用公式⑵直观求解。
进一步地说,五次方程X^5+5rX^4+10r^2X^3+10r^3X^2+5r^4X+f=0,因为A=B=0,C≠0,所以此方程有一个实根和两对共轭虚根。无论r、f为任意实数,都可以用公式⑵直观求解。r、f的取值有无限多个,显然,有无限多个五次方程可用根式表达的公式⑵求解。

特点3:当A=B=0,C≠0时的方程,都可以化为(X+b/(5a))^5=R的方程。
例:判别方程1024X^5+3840X^4+5760X^3+4320X^2+1620X+f=0
可否化为(X+b/(5a))^5=R的形式?
解:a=1024,b=3840,c=5760,d=4320,e=1620,f为任意实数。
∵A=B=0,C≠0,∴方程可化为(X+R)^5=R形式。
即(X+b/(5a))^5=(X+3840/(5×1024))^5=R,就是(X+3/4)^5=R,也就是(4X+3)^5=R。
这里R为任意实数。

特点4:凡是可以化为(X+b/(5a))^5=R的方程,展开后的此方程,无论a、b、R为任意实数,一定有A=B=0,C≠0。
为方便起见,令r=b/(5a)代入(X+b/(5a))^5=R,为(X+r)^5=R,展开为:
X^5+5rX^4+10r^2X^3+10r^3X^2+5r^4X+r^5=R (R≠0)
(注:当R=0时,则有A=B=C=0。)
令f=r^5—R (R≠0),代入上式为:
X^5+5rX^4+10r^2X^3+10r^3X^2+5r^4X+f=0,
就是说,无论r、f为任意实数,此方程一定有A=B=0,C≠0。
例:取r=7代入,得方程X^5+35X^4+490X^3+3430X^2+12005X+f=0,则此方程无论f为任意实数,一定有A=B=0,C≠0。
显然,此方程无论f为任意实数,都可以用公式⑵求解。
因为r、f的取值有无限多个,所以有无限多个这类五次方程可以用根式表达的公式⑵直观求解。可知,公式⑵与Abel定理相违背。
以上是浅谈公式⑴、公式⑵解题的一些特点。在实际应用中,还会有其他特点。

说明:
1、五次方程公式⑴、公式⑵,笔者在十多年前就研究出这一结论,2008年4月1日,登在科学网→个人学术展。
2、五次方程问题是世界数学史上的著名难题,公式的推导过程比较复杂,笔者把五次方程公式⑴、公式⑵这些简洁的结论呈现给读者,可作为数学美欣赏,也可方便解这类题型。
3、五次方程公式解题法要达到盛金公式解题法的效果,才是最满意的效果。是否能达这样的效果,仍然是一个迷。
4、公式⑵与Abel定理相违背。这是因为根据Abel定理,五次方程不存在根式表达的公式。这里说的与Abel定理相违背,是指不受Abel定理的约束去探讨,并不是否定Abel定理。
5、科学是讲事实的。笔者认为,如果没有完整地推导出根式表达的一般五次方程求根公式,那么就不能否定Abel定理。
6、笔者的智慧与精力有限,多年前就已放弃对五次方程问题的进一步研究,现在只是做一些整理工作。
7、但愿五次方程公式⑴、公式⑵,能对研究五次方程问题起到抛砖引玉的作用。

参考资料,见网址:
http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=8658
http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=12987

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