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  形如x^n±y^n的万能公式(上)           
形如x^n±y^n的万能公式(上)
作者:佚名 文章来源:不详 更新时间:2008-11-21 12:44:38

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形如x^n-y^n(n为正整数)的万能公式

在初中代数教材中,大家一定对平方差公式和立方差公式已经很熟悉了吧!

a^2-b^2=(a-b)(a+b)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

不错的,就是这两个.
这里来个推广,万能的公式:

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万能的公式:

x^n-y^n(n为正整数,负数,0这里暂不讨论)
=(x-y)[x^(n-1)y^0+x^(n-2)y^1+x^(n-3)y^2+....+x^2y^(n-3)+x^1y^(n-2)+x^0y^(n-1)]


说明一下:[x^(n-1)y^0+......+x^0y^(n-1)]这部分:
(系数为1,含x,y元素组合因子且每项x,y指数和为n-1,的所有的项的多项式),全是x的(n-1)降次到0,y的0升次到(n-1)的多项式排列

注意:每一项中x的幂排列为n-1,n-2,n-3,...3,2,1,0;而y的幂排列为倒过来的0,1,2,3,...n-3,n-2,n-1.互补每项x,y指数和为n-1.

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来个计算把它展开:
(x-y)[x^(n-1)y^0+x^(n-2)y^1+x^(n-3)y^2+....+x^2y^(n-3)+x^1y^(n-2)+x^0y^(n-1)]
=x^ny^0+x^(n-1)y^1+x^(n-2)y^2+....+x^3y^(n-3)+x^2y^(n-2)+x^1y^(n-1)
-x^(n-1)y^1-x^(n-2)y^2-x^(n-3)y^3+....-x^2y^(n-2)-x^1y^(n-1)-x^0y^n
=x^n-y^n

很显然,两边计算结果相等,是成立的一个公式.

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把它推广:
a^1-b^1=(a-b)*a^0b^0=(a-b)*1
a^2-b^2=(a-b)*(a^1b^0+a^0b^1)=(a-b)*(a+b)
a^3-b^3=(a-b)(a^2b^0+a^1b^1+a^0b^2)=(a-b)(a^2+ab+b^2)

我们还可以轻易的写出很多公式.如a^4-b^4
=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)


a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3),
x^5-y^5,...x^109-y^109,...
...特别是质数次方的因式分解

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甚至我们可以把x^2007-y^2007做个因式分解:
x^2007-y^2007=(x-y)[x^2006+x^2005y+...+xy^2005+y^2006]

特别是高质数次方的因式分解,如

x^2011-y^2011=(x-y)[x^2010+x^2009y+...+...+xy^2009+y^2010]



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